Toán cổ Hi Lạp
Tìm ba số sao cho số lớn nhất hơn số lớn thứ hai đúng bằng 1/3 số bé nhất, số lớn thứ hai hơn số bé nhất đúng bằng 1/3 số lớn nhất và số bé nhất hơn 1/3 số lớn thứ hai đúng bằng 10.
Bài toán Ác-si-mét
Vua Heron lệnh cho một người thợ kim hoàn làm một vương miện, với 8 li vàng và 2 li bạc (li: đơn vị khối lượng). Đến hạn người thợ đã dâng lên vua vương miện nặng đúng 10 li. Nhà vua nghi ngờ và yêu cầu nhà toán học Ác-si-mét kiểm tra lại xem người thợ kim hoàn có lấy bớt vàng và thay bạc vào đó không.
Ác-si-mét đã làm như sau:
Đem vương miện nhúng trong nước (tất nhiên không để chạm vào đáy thùng) thì cân còn li. Trong khi đó, cân 10 li vàng nhúng trong nước thì còn 9,5 li; cân 10,5 li bạc nhúng trong nước thì cũng còn 9,5 li.
Do vậy, Ác-si-mét suy ra điều nghi ngờ của nhà vua là đúng.
Căn cứ vào những số liệu trên đây, bạn có thể tính trong vương miện có bao nhiêu li vàng không?
Chung tiền mua trâu
Bài toán. Nhiều gia đình chung nhau mua một con trâu. Nếu cứ 7 gia đình góp lại được 190 đồng tiền thì thiếu mất 330 đồng. Nếu cứ 9 gia đình góp lại 270 đồng thì dư được 30 đồng. Hỏi có mấy gia đình và con trâu giá bao nhiêu?
Bài giải tham khảo
Cứ 9 gia đình góp lại được 270 dồng thì 7 gia đình góp như thế sẻ được 270x7/9=210 đồng.
Cứ 7 gia đình góp lại được 210 dồng nhiều hơn 7 gia đình góp lại được 190 đồng là:
210-190=20 đồng
Có số nhóm gia đình 7 gia đình là (330+30):20 x 7=18 (nhóm)
Có số gia đình là:18 x 7=126 (gia đình)
Giá tiền con trâu là: 18 x 190+330=3750 (đồng)
ĐS: 126 gia đình; con trâu giá:3750 đồng
Tính độ sâu giếng nước
Bài toán. Năm nhà dùng chung một giếng nước. Để gầu múc chạm đến được mặt nước thì với 2 sợi dây thừng của nhà A thiếu đúng 1 dây thừng của nhà B, với 3 dây thừng của nhà B thiếu đúng 1 dây thừng của nhà C, 4 dây thừng của nhà C thiếu đúng 1 dây thừng của nhà D, với 5 dây thừng của nhà D thì cần thêm 1 dây của nhà E, còn với 6 dây thừng của nhà E thì thiếu 1 dây thừng của nhà A nữa.
Tính độ sâu của giếng và độ dài của mỗi dây thừng.
Bài toán về “Hai bà lão”
Hai bà lão A và B khởi hành cùng một lúc từ hai thị trấn M và N và đi từ thị trấn này đến thị trấn kia. Họ gặp nhau lúc giữa trưa và bà A đến đích lúc 4 giờ chiều, còn bà B thì 9 giờ tối mới đến đích. Hỏi họ khởi hành lúc mấy giờ?
Cách giải tham khảo
cách 1:
Khi hai bà găp nhau lần đầu t giờ. Xem quảng đường MN là 1 phần
Thời gian bà A đi hết t+4. Mỗi giờ bà đi được 1/t+4 quảng đường.
Thời gian bà B đi hết t+9. Mỗi giờ bà B đi là 1/ t+9 quảng đường.
Hai bà cần đi tiếp là: 4/t+4 + 9/t+9 =1. tx t= 6x6. nên t=6 giờ
Hai bà xuất phát lúc 12-6=6 giờ.
Cách 2:
Gọi vận tốc của bà A là a, vận tốc của bà B là b. Đến khi hai bà gặp nhau thì
-Tỉ lệ quảnh đường đi được của bà A và bà B là a/b (Trên cùng thời gian quảng đường tỷ lệ thuận với vận tốc)
-Tỷ lệ quảnh đường còn lại của bà A và bà B là b/a
-Tỷ lệ thời gian đi quảng đường còn lại của bà A và bà B là:
b/a : a/b = 4/9(quảng đường chia vận tốc) < = > b/a x b/a= 4/9 = > b/a=2/3
Vậy từ khi đi đến lúc hai bà gặp nhau hết số thời gian là: 9x2/3=6(giờ)
Hai bà khởi hành lúc:12-6=6(giờ sáng)
ĐS: 6 giờ sáng
Stendhal và bài toán của Euler
Hai bà nông dân mang ra chợ tất cả 100 quả trứng, một bà có số trứng nhiều hơn bà kia, và hai người thu được một số tiền như nhau. Bà thứ nhất nói với bà thứ hai: nếu tôi có số trứng của bà, tôi sẽ thu được 15 crayxe. Bà thứ hai trả lời: nếu tôi có số trứng của bà, tôi sẽ chỉ được crayxe. Vậy mỗi bà có bao nhiêu quả trứng?
Bài giải tham khảo
Giả sử người nông dân thứ hai có số trứng gấp m lần số trứng của người thứ nhất. Vì hai người bán trứng thu được cùng một số tiền như nhau nên người thứ nhất phải bán đắt hơn người thứ hai m lần. Nếu trước khi bán, họ đổi số trứng cho nhau thì người thứ nhất có số trứng gấp m lần số trứng của người thứ hai lại bán đắt hơn m lần nên sẽ thu được số tiền gấp m x m lần người thứ hai.
Suy ra: m x m = 15 : 20/3= 9/4 = 3/2 x 3/2, do đó m = 3/2
Số trứng của bà thứ nhất là:
100 : (2 + 3) x 2 = 40 (quả)
Số trứng của bà thứ hai là:
100 – 40 = 60 (quả)
Nguồn: http://www.nguyentrangmath.com